[DL] Numpy & 행렬에 데하여 알아보기

Numpy가 뭐에요? 

• Python 에서 과학적 계산 & 수치를 계산하기 위한 핵심 라이브러리입니다. NumPy는 고성능의 다차원 배열 객체와 이를 다룰 도구를 제공합니다. 수치 계산을 위한 매우 효과적인 인터페이스를 제공하며, 이는 데이터 분석, 머신 러닝 등 다양한 분야에서 사용됩니다.
• 딥러닝을 공부할때, 배열이나 행렬을 사용할때가 많은데, numpy를 이용하면 이 배열이나, 행렬을 구현할때 매우 편리합니다. 
  • 추가 말씀으로, 여기서부터는 Jupyter Notebook을 이용하여 코드블럭을 작성하였기 때문에, python Idle나 다른 Tool로 이용하시는 분들과 나오는 형식이 다를수도 있습니다. 참고 바라요!

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Numpy 어떻게 가져와요?

• numpy는 일반 파이썬 내장 라이브러리에 있는것이 아니고, 외부에 있는 라이브러리 이기 때문에 밖에서 가져와야 합니다.

import numpy as np

• 파이썬에서는 외부에 있는 라이브러리를 불러오려면 import 문을 이용해야 합니다. 이때, "as np" 라는 부분은, import한 numpy 라이브러리의 이름을 np로 한다는 것입니다. 이렇게 하면, numpy 라이브러리 사용시, np로 입력하여 사용할 수 있습니다. 

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Numpy 배열

• Numpy 배열(array)를 사용할때, np.array() 이렇게 method를 선언후, 사용합니다.
• 그리고 배열(array)를 리스트로 받아 numpy 라이브러리에서 사용하는 배열로 값을 return 받습니다.

x = np.array([1.0, 3.0, 5.0, 7.0, 9.0])
print(x)

[1. 3. 5. 7. 9.]

type(x)

numpy.ndarray # numpy array가 제공하는 특수형태의 array

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Numpy의 연산

• >Numpy 배열로 연산을 수행하는 예시들을 보여드릴께요. 

x = np.array([1.0, 3.0, 5.0, 7.0])
y = np.array([2.0, 4.0, 6.0, 8.0])

print(x + y)
print(x - y)
print(x * y)
print(x / y)

[ 3.  7. 11. 15.] # x + y
[-1. -1. -1. -1.] # x - y
[ 2. 12. 30. 56.] # x * y
[0.5 0.75 0.83333333 0.875] # x / y

• 여기서 중요한것은, x,y 각 array의 원소수가 같아야 합니다. 산술연산은 각 array의 동일한 위치에 있는 원소들 끼리 연산을 하기 때문입니다. 
  • 원소수가 다르면? Error가 나서 연산 자체가 수행이 안되기 때문에 중요합니다. 

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Numpy의 다차원 배열

• 앞에 했던 numpy 배열(array) 연산은, 1차원 배열로 했지만, 다차원. 즉 N차원 배열로도 작성 및 연산을 할 수 있습니다.
• 예를 들어서 2차원 배열로 한번 보여드릴께요.

x = np.array([[2, 4], [6, 8]])
print(x)

[[2 4]
 [6 8]]

print(x.shape)
print(x.dtype)

(2, 2) # 2 x 2 행렬
int64 # 행렬에 담긴 원소의 자료형

• 위에 코드박스에 나와있듯이, x는 2 x 2 행렬을 가지고 있고, 형렬에 담긴 원소의 자료형은 dtype을 사용하면, 알 수 있습니다.
• 그리고 다차원 행렬의 연산도 보여드릴께요.

y = np.array([[1, 3], [5, 7]])

x + y

array([[ 3,  7],
       [11, 15]])

x * y

array([[ 2, 12],
       [30, 56]])

• 행렬끼리 차원(모양)이 같으면, 산술연산도 1차원이랑 동일하게 같은 위치에 있는 원소끼리 계산됩니다.

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스칼라곱

• 스칼라 곱이 무엇이냐? 갑자기 나와서 궁금하실수도 있는데, 행렬과 (일반 수)스칼라를 곱하는것을 말합니다.
• 예시를 보여드리면 y에 있는 행렬의 원소들과 곱하려는 스칼라 i 의 값인 6과 곱해볼께요

i = 6
y * i

array([[ 6, 18],
       [30, 42]])

 

• 나온대로 말 그래도 array에 있는 y 행렬의 원소 값에 6을 각각 곱해주면 되는겁니다.

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두 행렬의 곱

• 만약에 행렬 X 가 2 x 3 행렬이고, 행렬 Y 가 3 x 2 행렬이 있습니다. X 와 Y 행렬을 한번 곱해보겠습니다.

• 보이는것과 같이 1행 1열 에는 X의 1열과 Y의 1열이 곱한 결과가 들어갑니다.
  • 첫번째 값끼리 곱하고 두번째 값끼리 곱하고 세번째 값끼리 곱한 다음에 모두 더합니다.
  • 1 x 2 + 3 x 6 + 5 x 0 = 20 -> 20이 1행 1열에 들어갑니다.
  • 1 x 4 + 3 x 8 + 5 x 2 = 38 -> 38이 1행 2열에 들어갑니다.
  • 7 x 2 + 9 x 6 + 1 x 0 = 68 -> 68이 2행 1열에 들어갑니다.
  • 7 x 4 + 9 x 8 + 1 x 2 = 102 -> 102이 2행 2열에 들어갑니다.
• 이렇게 X x Y의 행렬 값으로는 위에 보이는것처럼 2 x 2 행렬이 나옵니다.
• 여기서 보이듯이, X 와 Y를 곱하면, X가 행을 제공, Y가 열을 제공합니다. 그래서 결과 행렬의 개수는 X의 열(column)의 수와 같고, Y의 행(row)의 개수와 같습니다. X는 열의 개수가 2개고 Y는 행의 개수가 2개 이므로 결국 행렬은 2 x 2로 나옵니다.
• 그러면 여기서 보이듯이, X의 열의 개수와 Y의 행의 개수가 맞아야 두 행렬의 곱이 성립이 됩니다.  

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행렬간의 곱에서 교환법칙이 성립 안할때

• 행렬의 곱은 A의 열(column)의 수가 B의 행(row)의 수와 같아야 행렬의 곱셈이 가능합니다.
• 일반적으로 우리가 6x3 곱셈과 3x6 곱셈은 되지만, 행렬의 곱셈은 안됩니다. 
• 이유는, 위에 설명했듯이 X의 열의 개수와 Y의 행의 개수가 맞아야 두 행렬의 곱이 성립이 됩니다.  그래서 XY곱셈은 가능하지만, YX곱셈은 불가능합니다. 

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Numpy로 요소별 곱하기 (Example)

• 2개의 행렬 A, B를 정의후, 한번 곱해보겠습니다.

import numpy as np

A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
])

B = np.array([
    [1, 2, 4],
    [6, 8, 0],
    [1, 2, 4]
])

A * B

array([[ 1,  4, 12],
       [24, 40,  0],
       [ 7, 16, 36]])

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Numpy로 행렬연산 예시

• 2A + -B x (C + 2D)

import numpy as np

A = np.array([
    [1, -2, 3],
    [4, 5, 6]
])

B = np.array([
    [0, 2],
    [-2, 4],
    [4, 6]
])

C = np.array([
    [4, -3],
    [-2, 1]
])

D = np.array([
    [-3, 6],
    [6, 3]
])

result = 2 * A @ -B @ (C + 2 * D)
result

array([[ -176,  -456],
       [-1224, -1148]])

• 여기 result에 나타나있는 식에서 각 기호의 의미는 각각 이렇습니다.
  • 숫자/행렬 스칼라 곱은 *
  • 행렬 덧셈은 +
  • 행렬 곱셈은 @

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Numpy로 전치, 단위, 역행렬 

• Numpy에서 행렬 A의 전치행렬 AT를 구할때는

A.T

• 행렬 A의 역행렬 A-1를 구할때는 아래처럼 사용하면 됩니다.

np.linalg.pinv(A)

• Example

result = B.T @ (2*A.T) @ (3*np.linalg.pinv(C) + D.T)
result

array([[ -60.,  -36.],
       [ 276., -348.]])

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Numpy의 차원 배열 확인해보기 (N차원)

• Numpy는 1차원 배열(1줄로 늘어선 배열)뿐만 아니라 다차원의 배열도 사용할수 있습니다.
• 아래의 예시를 보면 2차원 배열은 이렇게 작성합니다.

>>> A = np.array([[1,2], [3,4]])
>>> print(A)
[[1 2]
 [3 4]]
>>> A.shape
(2,2)
>>> A.dtype
dtype('int64')

• 행렬의 차원은 shape으로 확인할수 있으며, 행렬에 담긴 원소의 자료형은 dtype으로 알수 있습니다.
• 행렬의 산술 연산도 한번 보겠습니다.

>>> B = np.array([[3, 0], [0, 6]])
>>> A + B
array([[4, 2],
       [3, 10]])
>>> A * B
array([[3, 0],
       [0, 24]])

• 형상이 같은 행렬끼리면 행렬의 산술 연산에 대응하는 원소별로 계산됩니다. 배열도 마찬가지입니다.
• 행렬과 스칼라값의 산술 연산도 가능합니다. 이때 배열과 마찬가지로 브로드캐스트 기능이 적용됩니다. 근데, 브로드캐스트 기능이 무엇일까요? 한번 계속 보겠습니다.

>>> print(A)
[[1 2]
 [3 4]]
>>> A * 10
array([[10, 20],
       [30, 40]])

Tip. Numpy 배열은 (np.array)는 N차원의 배열을 작성할 수 있습니다. 1~3차원 배열부터 N차원의 배열처럼 원하는 N차원의 배열을 반들수 있는것입니다. 수학에서 1차원 배열은 Vector(벡터), 2차원 배열은 Matrix(행렬)이라고 부릅니다. 그리고 Vector & Matrix를 일반화 한것을 Tensor라고 합니다. 

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Broadcast (브로드캐스트) 

• Numpy에서는 형상이 다른 배열끼리도 계산이 가능합니다.
• 예를 들어서 2 * 2 행렬 A에 Scaler값 10을 곱했습니다. 이때 10이라는 Scaler값이 2 * 2 행렬로 확대된 후 연산이 이뤄집니다.
• 이러한 기능을 Broadcast (브로드캐스트)라고 합니다.

# Broadcast Example
>>> A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> B = np.array([[10, 20]])
>>> A * B
array([[10, 40],
       [30, 80]])

• 위의 Broadcast의 예시를 보면, 1차원 배열인 B가 2차원 배열인 A와 똑같은 형상으로 변형된 후 원소별 연산이 진행됩니다.

Broadcast Example

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Numpy의 원소 접근

• 원소의 Index는 0부터 시작합니다. Index로 원소에 접근하는 예시는 아래의 코드와 같습니다.

>>> X = np.array([[51, 55], [14, 19], [0, 4]])
>>> print(X)
[[51 55]
 [14 19]
 [0   4]
>>> X[0] # 0행
array([51, 55])
>>> X[0][1] #(0, 1) 위치의 원소
55

• for문으로도 각 원소에 접근할 수 있습니다.

>>> for row in X:
...	    print(row)
...
[51 55]
[14 19]
[0 4]

• 아니면 Index를 array(배열)로 지정해서 한번에 여러 원소에 접근할 수도 있습니다.
• 이 기법을 사용하면 특정 조건을 만족하는 원소만 얻을 수 있습니다. 

>>> X = X.flatten() #x를 1차원 배열로 변호나(평탄화)
>>> print(X)
[51 55 14 19 0 4]
>>> X[np.array([0, 2, 4])] # 인덱스가 0, 2, 4번째에 있는 원소 얻기
array([51, 14, 0])

• 아래의 코드는 배열에서 X에서 15 이상인 값만 구할 수 있습니다.

>>> X > 15
array([True, True, False, True, False, False], dtype=bool)
>>> X[X>15]
array([51, 55, 19])

• Numpy 배열에 부등호 연산자를 사용한 결과는 bool 배열입니다. (여기서는 X>15)
• 여기서는 이 bool 배열을 사용해 배열 X에서 True에 해당하는 원소, 즉 값이 15보다 큰 원소만 꺼내고 있습니다.

 

• Ps. 다음글에는 Matplotlib 라이브러리에 데하여 소개하는 글을 들고 오겠습니다.